题目

材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2 ． 例如：24=72﹣52 ， 24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72 ， 32=62﹣22 ， 因为92+72＞62+22 ， 所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答： （1） 请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解； （2） 试证明10不是雪松数； （3） 若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值． 答案： 解：112=112﹣32，40=72﹣32 解：若10是“雪松数”，则可设a2﹣b2=10（a，b均为正整数，且a≠b），则（a+b）（a﹣b）=10．又∵10=2×5=10×1．∵a，b均为正整数，∴a+b＞a﹣b，∴ {a+b=5a−b=2 ，或 {a+b=10a−b=1 ，解得： {a=72b=32  或 {a=112b=92 ，与a，b均为正整数矛盾，故10不是雪松数 解：设t= abba¯ （a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′= mnnm¯ （m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），则t=（10m+n）2﹣（10n+m）2=99（m2﹣n2）=99（m+n）（m﹣n），∴99（m+n）（m﹣n）=1000a+100b+10b+a=1001a+110b，整理得，（m+n）（m﹣n）=10a+b+ a+b9 ．∵a，b，m，n均为正整数，∴a+b=9，经探究 {a=2b=7m=8n=6， {a=5b=4m=8n=3 ，符合题意，∴t的值分别为：2772，5445，t′的值分别为：8668，8338，由材料一可知，F（t）的最大值为：862+682=12020．

查看本题答案和解析