题目

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是 ． （1） 求椭圆C的方程； （2） 设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当 最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围． 答案： 解：设椭圆C的方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) ．由题意 {a2=b2+c2a：b=2：3c=2.解得a2=16，b2=12．所以椭圆C的方程为 x216+y212=1 设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 x216+y212=1 ，故﹣4≤x≤4．因为 MP→=(x−m，y) ，所以 |MP→|2=(x−m)2+y2=(x−m)2+12×(1−x216) = 14x2−2mx+m2+12=14(x−4m)2+12−3m2 ．因为当 |MP→| 最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4m时， |MP→|2 取得最小值．而x∈[﹣4，4]，故有4m≥4，解得m≥1．又点M在椭圆的长轴上，即﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是m∈[1，4]．

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