题目

直角坐标系 中，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1） 曲线 与直线 ： 交于 ， 两点，求 ； （2） 曲线 的参数方程为 ( ， 为参数)，当 时，若 与 有两个交点，极坐标分别为 ， ，求 的取值范围，并证明 . 答案： 解：曲线 C 的极坐标方程为 ρ2=tanθ+1tanθ ，整理得 ρ2=sinθcosθ+cosθsinθ ， 曲线 C 与直线 l ： θ=π4(ρ∈R) 交于 A ， B 两点， 所以 {ρ2=sinθcosθ+cosθsinθθ=π4 ， 所以 ρ2=2 ， 所以 ρA=2 ， ρB=−2 ， 故 |AB|=ρA−ρB=22 . 解：由（1）得 ρ2=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=2sin2θ ， ρ2=r2 ， 由于 θ∈(0,π2) ， 所以 2θ∈(0,π) ， 故 sin2θ∈(0,1] . 故 r2=2sin2θ∈[2,+∞) ， 所以 r 的范围为 [2,+∞) . 证明：由于 ρ12=ρ22=r2 ， 所以 2sin2θ1=2sin2θ2 ， 故 sin2θ1=sin2θ2 ， 由于若 C 与 C1 有两个交点，极坐标分别为 (ρ1,θ1) ， (ρ2,θ2) ， 所以 θ1≠θ2 ， 故 2θ1=π−2θ2 ， 整理得 θ1+θ2=π2 .

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