题目

已知函数 . （1） 当 时，讨论 的单调性； （2） 设 是函数 的导函数，讨论函数 在 上的零点个数. 答案： 解： f(x) 的定义域为 (0,+∞) . f′(x)=x−alnx+a+1x ， 令 h(x)=f′(x)=x−alnx+a+1x ， 则 h′(x)=1−ax−a+1x2=[x−(a+1)](x+1)x2 . 当 a=2 时， h′(x)=(x−3)(x+1)x2 . 令 h′(x)=0 ，解得 x=3 ，在 (0,3) 上 h′(x)<0 ，在 (3,+∞) 上 h′(x)>0 ， 所以 y=h(x) 在 (0,3) 单调递减，在 (3,+∞) 上单调递增，且 h(3)=4−2ln3>0 ， 所以 f′(x)>0 在 (0,+∞) 上恒成立，所以函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增 解：①当 a>e−1 时，即 a+1>e 时， 当 x∈(1,e) 时， h′(x)<0 ，故 h(x) 在 (1,e) 上单调递减. h(1)=2+a>0 ， h(e)=e+a+1e−a=a(1e−1)+e+1e . 当 h(e)>0 ，即 a(1e−1)+e+1e>0 ，即 a<e2+1e−1 时， h(x)>0 在 [1,e] 上恒成立， 所以 e−1<a<e2+1e−1 时， h(x) 在 [1,e] 上无零点. 当 h(e)≤0 ，即 a(1e−1)+e+1e≤0 ，即 a≥e2+1e−1 时， h(1)⋅h(e)≤0 . 由零点存在性定理可知，此时 h(x) 在 [1,e] 上有零点. 又因为函数 h(x) 在 [1,e] 上单调递减，所以此时 h(x) 在 [1,e] 上有一个零点. ②当 a≤0 时，即 a+1≤1 时， 当 x∈(1,e) 时， h′(x)>0 ，所以 h(x) 在 (1,e) 上单调递增. h(1)=2+a ， h(e)=a(1e−1)+e+1e>0 . 当 h(1)=2+a≤0 ，即 a≤−2 时， h(1)⋅h(e)≤0 . 由零点存在性定理，知此时 h(x) 在 [1,e] 上有零点. 因为 h(x) 在 [1,e] 上单调递增，故 h(x) 在 [1,e] 上仅有1个零点. 当 −2<a≤0 时， [h(x)]min=h(1)>0 ，此时 h(x) 在 [1,e] 上无零点. ③当 0<a≤e−1 ，即 1<a+1≤e 时， 则 x∈(1,a+1) 时， h′(x)<0 ，当 x∈(a+1,e) 时， h′(x)>0 ， 则函数 h(x) 在 (1,a+1) 上单调递减，在 (a+1,e) 上单调递增， 故 [h(x)]min=h(a+1)=a+2−aln(a+1) . 令 g(a)=h(a+1)=a+2−aln(a+1) ，则 g′(a)=1a+1−ln(a+1) ， 所以 g′(a) 在 (0,e−1] 上单调递减，且 g′(0)=1>0 ， g′(e−1)=1e−1<0 ， 所以 g(a) 在 (0,e−1] 上选增后减. 又 g(0)=g(e−1)=2 ， 所以 [h(x)]min=h(a+1)≥2 ，故 h(x)>0 ，此时 h(x) 在 [1,e] 上无零点. 综上所述，当 a≤−2 或 a≥e2+1e−1 时， y=f′(x) 在 [1,e] 上有1个零点；当 −2<a<e2+1e−1 时， y=f′(x) 在 [1,e] 上无零点

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