题目

已知 为圆 上的动点， 的坐标为 ， 在线段 的中点.（Ⅰ）求 的轨迹 的方程.（Ⅱ）过点 的直线 与 交于 两点，且 ，求直线 的方程. 答案：解：(Ⅰ)设点 P 的坐标为 (x,y) ，点 A 的坐标为 (x0,y0) ，依题意得 x=x0−42,y=y02 ，解得 {x0=2x+4y0=2y ，又 (x0−4)2+y02=16 ，所以 4x2+4y2=16 ，即 x2+y2=4所以点 P 的轨迹 C 的方程为 x2+y2=4 .(Ⅱ)因为直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点，且 |MN|=23 ，所以原点 O 到直线 l 的距离 d=4−3=1 .若 l 斜率不存在，直线 l 的方程为 x=−1 ，此时符合题意；若 l 斜率存在，设直线 l 的方程为 y−3=k(x+1) ，即 kx−y+k+3=0 ，则原点 O 到直线 l 的距离 d=|k+3|1+k2=1 ，解得 k=−43 ，此时直线 l 的方程为 4x+3y−5=0所以直线 l 的方程为 4x+3y−5=0 或 x=−1

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