题目

如图，已知平行四边形 中， ， ， .平行四边形 的顶点 在线段 上（点 在 的左边），顶点 分别在线段 和 上. （1） 求证： ； （2） 如图1，将 沿直线 折叠得到 ，当 恰好经过点 时，求证：四边形 是菱形； （3） 如图2，若四边形 是矩形，且 ，求 的长.（结果中的分母可保留根式） 答案： 解：如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC . ∴ ∠ADB=∠DBC . ∵四边形 MPNQ 是平行四边形， ∴ MQ//PN ， MQ=PN . ∴ ∠MQP=∠NPQ . ∴ ∠MQD=∠NPB 在 △MQD 和 △NPB 中 {∠MQD=∠NPB∠ADB=∠DBCMQ=PN ∴ △MQD≌△NPB . ∴ DM=BN . 解：如图，∵ △BC′D 与 △BCD 关于 BD 对称， ∴ ∠DBC′=∠DBC . 由（1）得 ∠ADB=∠DBC ， ∴ ∠DBC′=∠ADB . ∴ BM=DM . 由（1）得 ∠ADB=∠DBC ， ∴ ∠DBC′=∠ADB . ∴ BM=DM . 由（1）得 DM=BN ， ∴ BM=BN . ∵ BP=BP ， 在 △MBP 和 △NBP 中 {BM=BN∠DBC′=∠DBCBP=BP ∴ △MBP≌△NBP . ∴ PM=PN . ∴ ▱MPNQ 是菱形. 解：如图，过点 N 作 NH⊥BD 于点 H ，连接 MN 交 PQ 于 O .设 OP=x ， ∵四边形 PMQN 是矩形， MP∥AB ， ∴ ∠PQN=∠BDC=60° ， OQ=OP=ON=QN=x ， ∴ HQ=HO=12x ， HN=32x ， BH=BO+OQ=12BD+OQ=12+12x . 在 Rt△BHN 中，由 sin∠DBC=513 ，得 tan∠HBN=5132−52=512 32x12+12x=512 ， 解得 x=120123−5 . ∴ BP=BO−OP=12−120123−5 .

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