题目

在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （t为参数， ），曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1） 求曲线 的极坐标方程； （2） 设曲线 与曲线 的交点分别为 ，求 的最大值及此时直线 的倾斜角. 答案： 解：因为曲线 C2 的参数方程为 {x=1+2cosϕ,y=−1+2sinϕ(ϕ为参数） ，所以曲线 C2 的普通方程为 (x−1)2+(y+1)2=2 ，即 x2+y2−2x+2y=0 ， 所以曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2−2ρcosθ+2ρsinθ=0 ，即 ρ=2cosθ−2sinθ . 解：设直线 C1 上的点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2 ， 将直线 C1 的参数方程代入曲线 C2 的普通方程，可得 (tcosα+1)2+(tsinα+1)2=2 ，即 t2+2(sinα+cosα)t=0 所以 t1+t2=−2(sinα+cosα) ， t1⋅t2=0 . 故 |MA|2+|MB|2=t12+t22=(t1+t2)2−2t1⋅t2=4(sinα+cosα)2=4(1+sin2α) ， 所以当 sin2α=1 ，即 α=π4 时， |MA|2+|MB|2 取得最大值，最大值为8，此时直线 C1 的倾斜角为 π4 .

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