题目

如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D． （1） 若抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N． ①求点M、N的坐标； ②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由； （2） 当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 答案： 解：①y＝﹣ 12 x2+x+4＝﹣ 12 （x﹣1）2+ 92 ， ∴顶点M的坐标为（1， 92 ）， 当x＝1时，y＝﹣1+4＝3， ∴点N的坐标为（1，3）； ②不存在．理由如下： MN＝ 92 ﹣3＝ 32 ， 设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣ 12 m2+m+4）， PD＝﹣ 12 m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣ 12 m2+2m， ∵PD∥MN． ∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形， 即﹣ 12 m2+2m＝ 32 ，解得：m＝1或3（m＝1舍去）， ∴点P（3，1），由N（1，3）， ∴PN＝ (3−1)2+(3−1)2 ＝2 2 ≠MN， ∴平行四边形MNPD不是菱形， 即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形 解：①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形， ∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4）， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣ 12 x2+x+4； ②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形， 则PD＝2xP＝4， ∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4）， 把A、B、D坐标代入二次函数表达式得： {16a+4b+c=0c=44a+2b+c=6 ，解得： {a=1b=3c=4 ， 故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．

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