题目

由 得， ；如果两个正数a，b，即 ， 则有下面的不等式： ， 当且仅当 时取到等号. 例如：已知 ， 求式子 的最小值. 解：令 ， 则由 ， 得 ， 当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4. 请根据上面材料回答下列问题： （1） 当 ， 式子 的最小值为；当 ， 则当 时，式子 取到最大值； （2） 用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3） 如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值. 答案： 【1】2【2】-3 解：设花园平行于墙的一边的长为x米，则垂直于墙的一面的长为 32 x 米 ∴篱笆的周长为 x + 2 × 3 2 x = x + 6 4 x ， ∵ x > 0 ， ∴ x + 6 4 x ≥ 2 x ⋅ 6 4 x = 1 6 ， 当且仅当， x = 6 4 x 时，等号成立，解得 x = 8 或 x = − 8 （舍去）， ∴ 3 2 x =4， ∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米； 解：设点B到AC的距离BE= h 1 ，点D到OC的距离DF= h 2 ， ∵ △ A O B 、 △ C O D 的面积分别是8和14， ∴OA= 1 6 h 1 ，OC= 2 8 h 2 ， ∴AC=OA+OC= 1 6 h 1 + 2 8 h 2 ， ∴ S 四 边 形 A B C D = S △ A B C + S △ A D C = 1 2 A C · h 1 + 1 2 A C · h 2 = 1 2 A C · ( h 1 + h 2 ) = 1 2 ( h 1 + h 2 ) ( 1 6 h 1 + 2 8 h 2 ) = 2 2 + 8 h 2 h 1 + 1 4 h 1 h 2 ， ∵ h 1 > 0 ， h 2 > 0 ， ∴ 8 h 2 h 1 + 1 4 h 1 h 2 ≥ 2 8 h 2 h 1 ⋅ 1 4 h 1 h 2 ≥ 8 7 ， ∴ 2 2 + 8 h 2 h 1 + 1 4 h 1 h 2 ≥ 2 2 + 8 7 ， ∴四边形 A B C D 面积的最小值 2 2 + 8 7 .

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