题目

如图，在正三棱柱 中， ， ，点 为 的中点. （1） 求证：直线 与 为异面直线； （2） 求三棱锥 的体积. 答案： 证明：假设直线 A1B 与 C1D 不是异面直线，因此直线 A1B 与 C1D 是共面直线， 因此 A1、B、C1、D 四点共面，因此直线 A1C1 与 BD 是共面直线， 因为 ABC−A1B1C1 是正三棱柱，所以平面 ABC// 平面 A1B1C1 ， 又因为 A1C1⊂ 平面 A1B1C1 ， BD⊂ 平面 ABC ， 所以直线 A1C1 与 BD 没有公共点，而直线 A1C1 与 BD 是共面直线， 因此 A1C1//BD ，即 A1C1//BC ，而 A1C1//AC ， 因此有 BC//AC ，这显然与 BC∩AC=C 矛盾， 故假设不成立，因此直线 A1B 与 C1D 为异面直线； 解： VB−AC1D=VC1−ABD=13S△ABD⋅CC1=13×12⋅S△ABC⋅2=13S△ABC ， S△ABC=12×3×3×32=934 ，所以 VB−AC1D=13S△ABC=13×934=334 .

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