题目

已知函数 . （1） 若函数 在定义域上单调递减，求实数 的取值范围； （2） 设函数 有两个极值点 ， ，求证： . 答案： 解：函数的定义域为 (0,+∞) ， f'(x)=2xlnx+x−ax2−3x=x(2lnx−ax−2) ∵ 函数 y=f(x) 在定义域上单调递减， ∴ f'(x)≤0 在 (0,+∞) 上恒成立， ∴  2lnx−ax−2≤0 在 (0,+∞) 上恒成立，即： a≥2lnx−2x 在 (0,+∞) 上恒成立， 令 g(x)=2lnx−2x ，则 g'(x)=2(2−lnx)x2 ， 当 x∈(0,e2) 时， g'(x)>0 ，此时函数 g(x) 单调递增， 当 x∈(e2,+∞) 时， g'(x)<0 ，此时函数 g(x) 单调递减， ∴ 当 x=e2 时，函数 g(x) 有极大值，也是最大值， ∴ a≥g(e2)=2e2 ， 故实数 a 的取值范围为： [2e2,+∞) 证明：∵ 函数 f(x) 有两个极值点 x1 ， x2 ， f'(x)=x(2lnx−ax−2) ∴ 根据（1）得： {2lnx1=ax1+22lnx2=ax2+2 ， ∴ 2lnx1x2=a(x1+x2)+4,2lnx1x2=a(x1−x2) ， ∴  2lnx1x2=2lnx1x2x1−x2(x1+x2)+4 ， ∵ x1≠x2 ，∴ 不妨设 x1>x2 ，令 x1x2=t,t>1 ， 则 lnx1x2=t+1t−1lnt+2 ，设 h(t)=t+1t−1lnt+2 故问题转化为证明 h(t)=t+1t−1lnt+2>4 在 (1,+∞) 上恒成立， ∴ 只需证 (t+1)lnt−2t+2>0 在 (1,+∞) 上恒成立， 令 m(t)=(t+1)lnt−2t+2 ， m'(t)=lnt+1t−1 ， m''(t)=1t−1t2=t−1t2>0 ∴ m'(t) 在 (1,+∞) 上单调递增，由于 m'(1)=0 ， ∴ m'(t)>m'(1)=0 ，即函数 m(t)=(t+1)lnt−2t+2 在 (1,+∞) 上单调递增， ∴ m(t)>m(1)=0 ，即 (t+1)lnt−2t+2>0 在 (1,+∞) 上恒成立 ∴ ln(x1x2)>4 成立.

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