题目

已知向量 ， ， （1） 求函数 的最小正周期及 取得最大值时对应的x的值； （2） 在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，若 ,求三角形ABC面积的最大值并说明此时该三角形的形状. 答案： 解：由已知得 a→=(−sinx,cosx) ，又 b→=(−sinx,3sinx)于是 f(x)=a→⋅b→=sin2x+3sinxcosx=1−cos2x2+3sin2x2=sin(2x−π6)+12∴ f(x) 的最小正周期为 T=2π2=π ；当 2x−π6=π2+2kπ ，即 x=π3+kπ   (k∈Z) ， f(x) 的最大值为 32 解：锐角三角形中ABC，由（1）得 f(A2)=sin(A−π6)+12=1∴ sin(A−π6)=12 ，∴ A=π3由余弦定理知 a2=b2+c2−2bccosA ∴ 12=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc即 bc≤12 (当且仅当b=c时取得等号成立) ∴ S=12bcsinA=34bc≤33 ,∴当三角形ABC为等边三角形时面积取得最大值为 33

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