题目

已知函数 ， . （1） 当 时，求证：当 时， ； （2） 若 在 上恒成立，求a的取值范围. 答案： 证明：当 a=1 时， f(x)=ex−12x2−x−1 ， ∴f′(x)=ex−x−1 ， f″(x)=ex−1≥0 在 [0,+∞) 上恒成立， 故 f′(x) 在 [0,+∞) 上单调递增， ∴f′(x)≥f′(0)=0 ， ∴f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增， ∴f(x)≥f(0)=0 ，从而得证原不等式. ∵f(x)+g(x)=ex+cosx−ax−2 ， 令 h(x)=ex+cosx−ax−2 ， h′(x)=ex−sinx−a ， h″(x)=ex−cosx ， ∵ex≥1 ， −1≤cosx≤1 ，故 h″(x)≥0 ， ∴h′(x) 在 [0,+∞) 上单调递增， ∴h′(x)≥h′(0)=1−a ， ①当 1−a≥0 ，即 a≤1 时， h′(x)≥0 ，故 h(x) 在 [0,+∞) 上单调递增， 故 h(x)≥h(0)=0 ，满足题意； ②当 1−a<0 ，即 a>1 时，因 h′(0)<0 ，又 x→+∞ 时， h′(x)→+∞ ， 所以 ∃x0∈(0,+∞) ，使得 h′(x0)=0 ， ∴当 x∈(0,x0) 时， h′(x)<0 ， ∴h(x) 在 (0,x0) 上单调递减，此时 h(x)<h(0)=0 ，不符合题意. 综上， a≤1 .

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