题目

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于(0， )，点A坐标为(－1，2)，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上． （1） 求该抛物线的函数解析式； （2） 点F为线段AC上一动点，过点F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为点E，G，当四边形OEFG为正方形时，求出点F的坐标； （3） 将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵点B是点A关于y轴的对称点，∴抛物线的对称轴为y轴，∴抛物线的顶点为（0， 94 ），故抛物线的解析式可设为y=ax2+ 94 ．∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+ 94 上，∴a+ 94 =2，解得a=﹣ 14 ，∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣ 14 x2+ 94 解：①当点F在第一象限时，如图1，令y=0得，﹣ 14 x2+ 94 =0，解得：x1=3，x2=﹣3，∴点C的坐标为（3，0）．设直线AC的解析式为y=mx+n，则有 {−m+n=23m+n=0 ，解得 {m=−12n=32 ，∴直线AC的解析式为y=﹣ 12 x+ 32 ．设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．∵点F（p，p）在直线y=﹣ 12 x+ 32 上，∴﹣ 12 p+ 32 =p，解得p=1，∴点F的坐标为（1，1）．②当点F在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去．综上所述：点F的坐标为（1，1） 解：过点M作MH⊥DN于H，如图2，则OD=t，OE=t+1．∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．当x=t时，y=﹣ 12 t+ 32 ，则N（t，﹣ 12 t+ 32 ），DN=﹣ 12 t+ 32 ．当x=t+1时，y=﹣ 12 （t+1）+ 32 =﹣ 12 t+1，则M（t+1，﹣ 12 t+1），ME=﹣ 12 t+1．在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣ 12 t+1）2= 14 t2﹣t+2．在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣ 12 t+ 32 ）﹣（﹣ 12 t+1）= 12 ，∴MN2=12+（ 12 ）2= 54 ．①当DN=DM时，（﹣ 12 t+ 32 ）2= 14 t2﹣t+2，解得t= 12 ；②当ND=NM时，﹣ 12 t+ 32 = 54=52 ，解得t=3﹣ 5 ；③当MN=MD时，54 = 14 t2﹣t+2，解得t1=1，t2=3．∵0≤t≤2，∴t=1．综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为 12 ，3﹣ 5 或1．

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