题目

已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆上任意一点 到焦点距离的最小值与最大值之比为 ，过 且垂直于长轴的椭圆 的弦长为 ． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 过 的直线与椭圆 相交的交点 、 与右焦点 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 答案： 由题意，椭圆上任意一点 P 到焦点距离的最小值与最大值之比为 13 ， 可得 (a−c)：(a+c)=13 ，即 a=2c ， 又由过 F1 且垂直于长轴的椭圆 C 的弦长为 3 ，可得 2b2a=2(a2−c2)a=3 ， 联立方程组，可得： a=2 ， c=1 ，所以 b2=a2−c2=3 ， 故椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1 . 设 △ABF2 的内切圆半径为 r ，可得 S△ABF2=12(|AF2|+|AB|+|BF2|)⋅r ， 又因为 |AF2|+|AB|+|BF2|=8 ，所以 S△ABF2=4r ， 要使 △ABF2 的内切圆面积最大，只需 S△ABF2 的值最大， 由题意直线 l 斜率不为 0 ，设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，直线 l：x=my−1 ， 联立方程组 {x24+y23=1x=my−1 ，整理得 (3m2+4)y2−6my−9=0 ， 易得 Δ>0 ，且 y1+y2=6m3m2+4 ， y1⋅y2=−93m2+4 ， 所以 S△ABF2=12|F1F2|⋅|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1⋅y2=36m2(3m2+4)2+363m2+4=12m2+13(m2+1)+1 ， 设 t=m2+1≥1 ，则 SΔABF2=12t3t2+1=123t+1t ， 设 y=3t+1t(t≥1) ，可得 y′=3−1t2>0 ， 所以当 t=1 ，即 m=0 时， S△ABF2 的最大值为 3 ，此时 r=34 ， 所以 △ABF2 的内切圆面积最大为 9π16 .

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