题目

如图，在三棱柱 中，四边形 为正方形，四边形 为菱形，且 ，平面 平面 ，点D为棱 的中点. （1） 求证： ； （2） 棱 (除两端点外)上是否存在点M ， 使得二面角 的余弦值为 ﹐若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 答案： 解：证明：取棱 AA1 的中点 O ，连接 CA1 ､ CO ､ OD ∵AC=AA1 ，且 ∠AA1C=600 ∴△AA1C 为等边三角形 ∴AA1⊥OC ∵ 四边形 ABB1A1 为正方形，且 O、D 分别是 AA1、BB1 的中点 ∴AA1⊥OD ∵OC∩OD=O ， OC、OD⊂ 平面 OCD ∴AA1⊥ 平面 OCD ∵CD⊂ 平面 OCD ∴AA1⊥CD 法一：解： ∵ 平面 AA1C1C⊥ 平面 ABB1A1 ，平面 AA1C1C∩ 平面 ABB1A1=AA1 且 OC⊥AA1 ， OC⊂ 平面 AA1C1C ∴OC⊥ 平面 ABB1A1 以 O 为坐标原点，以 OA ， OD ， OC 所在的直线分别为 x 轴､ y 轴､ z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，不妨设 AB=2 则点 B(1,2,0) ， A1(−1,0,0) ， C1(−2,0,3) ， B1(−1,2,0) 设 n1→=(x1,y1,z1) 为平面 A1B1C1 的一个法向量，则由 n1⇀⋅A1B1⇀=0 及 n1⇀⋅A1C1⇀=0 得 {2y1=0−x1+3z1=0 ，取 z1=1 ，得 n1→=(3,0,1) 假设棱 B1C1 上(除端点外)存在点 M 满足题意， 令 C1M⇀=λC1B1⇀ ( 0<λ<1 )，得 M(λ−2,2λ,3−3λ) 设 n2→=(x2,y2,z2) 为平面 BA1M 的一个法向量，则由 n2⇀⋅A1B⇀=0 及 n2⇀⋅A1M⇀=0 得 {2x2+2y2=0(λ−1)x2+2λy2+(3−3λ)z2=0 ，取 x2=1 ，得 n2⇀=(1,−1,1+λ3(1−λ)) 由 |cos〈n1,⇀n2⇀〉|=|3+1+λ3(1−λ)2⋅2+13(1+λ1−λ)2|=155 ，解得 λ=12 或 λ=18 所以点 M 为棱 B1C1 的中点，或者点 M 为棱 B1C1 的八等分点(靠近 C1 端) 法二：解： ∵ 平面 AA1C1C⊥ 平面 ABB1A1 ，平面 AA1C1C∩ 平面 ABB1A1=AA1 且 OC⊥AA1 ， OC⊂ 平面 AA1C1C ∴OC⊥ 平面 ABB1A1 以 O 为坐标原点，以 OD ， OA1 ， OC 所在的直线分别为 x 轴､ y 轴､ z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，不妨设 AB=2 则点 B(2,−1,0) ， A1(0,1,0) ， C1(0,2,3) ， B1(2,1,0) 设 n1→=(x1,y1,z1) 为平面 A1B1C1 的一个法向量，则由 n1⇀⋅A1B1⇀=0 及 n1⇀⋅A1C1⇀=0 得 {2x1=0y1+3z1=0 ，取 z1=1 ，得 n1→=(0,−3,1) 假设棱 B1C1 上(除端点外)存在点 M 满足题意， 令 B1M→=λB1C1→ ( 0<λ<1 )，得 M(2−2λ,λ+1,3λ) 设 n2→=(x2,y2,z2) 为平面 BA1M 的一个法向量，则由 n2→⋅BA1→=0 及 n2→⋅BM→=0 得 {−2x2+2y2=0−2λx2+(2+λ)y2+3λz2=0 ，取 x2=1 ，得 n2→=(1,1,λ−23λ) 由 |cos<n1,→n2→>|=|−3+λ−23λ2⋅2+13(λ−2λ)2|=155 ，解得 λ=12 或 λ=78 所以点 M 为棱 B1C1 的中点，或者点 M 为棱 B1C1 的八等分点(靠近 C1 端)

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