题目

在① ，② ，③ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题. 已知 ，_____， . （1） 求 的值； （2） 求 . 答案： ∵ 0<β<α<π2 ，∴ sinα>0 ， cosα>0 ， 若选① tanα=43 ，由 sin2α+cos2α=1 得 sinα=437 ， cosα=17 . 若选② 7sin2α=83cosα ，则 14sinαcosα=83cosα ，∵ cosα≠0 ，∴ sinα=437 ， 则 cosα=17 . 若选③ tanα2=32 ，则 tanα=2tanα21−tan2α2=2×321−(32)2=31−34=314=43 ， 则由 sin2α+cos2α=1 得 则 sinα=437 ， cosα=17 . 综上 sinα=437 ， cosα=17 . sin(α+5π6)=sinαcos5π6+cosαsin5π6=−1114 ∵ 0<β<α<π2 ，∴ −π2<−β<0 ，∴ 0<α−β<π2 ， ∵ cos(α−β)=1314 ，∴ sin(α−β)=3314 ， ∴ sinβ=sin[α−(α−β)] =sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β) =437×1314−17×3314 =49398=32 ， ∴ β=π3 .

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