题目

如图. （1） 问题发现 如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC上一动点，连接DE. 填空：①则 的值为；②∠EAD的度数为. （2） 类比探究 如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE.请求出 的值及∠EAD的度数； （3） 拓展延伸 如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长. 答案： 【1】1【2】90° 解： ADEC=3 ，∠EAD=90° 理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60° ∴∠ABD=∠EBC，∠BAC=∠BDE=30° ∴在Rt△ABC中，tan∠ACB= ABBC =tan60°= 3 在Rt△DBE中，tan∠BED= BDBE =tan60°= 3 ∴ ABBC = BDBE 又∵∠ABD=∠EBC ∴△ABD∽△BCE ∴ ADEC = ABBC = 3 ，∠BAD=∠ACB=60° ∵∠BAC=30° ∴∠EAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°， 解：如图， 由（2）知： ADEC = ABBC = 3 ，∠EAD=90° ∴AD= 3 CE， 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4， ∴AC=8，AB=4 3 ， ∵∠EAD=∠EBD=90°，且点M是DE的中点， ∴AM=BM= 12 DE， ∵△ABM为直角三角形， ∴AM2+BM2=AB2=（4 3 ）2=48， ∴AM=BM=2 6 ， ∴DE=4 6 ， 设EC=x，则AD= 3 x，AE=8-x Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2 ∴(8-x)2+( 3 x)2=(4 6 )2， 解之得：x=2+2 3 （负值舍去）， ∴EC=2+2 3 ， ∴AD= 3 CE=2 3 +6， ∴线段AD的长为（2 3 +6），

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