题目

为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法： ⑴抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为80元，每个个体收取检测费为100元． ⑵核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过10个时，把所有个体合并在一起进行检测． 当个体超过10个时，每10个个体为一组进行检测．若该组检测结果为阴性（正常），则只需检测一次；若该组检测结果为阳性（不正常），则需再对每个个体按核酸检测法重新独立检测，共需检测k+1次（k为该组个体数，1≤k≤10，k∈N*）．每一次检测成本为160元．假设在接受检测的个体中，每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立，且每个个体是阳性结果的概率均为p（0＜p＜1）． （Ⅰ）现有100个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率； （Ⅱ）因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定的补贴，故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下：无论是检测一次还是k+1次，每组所有个体共收费700元（少于10个个体的组收费金额不变）．已知某企业现有员工107人，准备进行全员检测，拟准备9000元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检测安排方案； （Ⅲ）设 ，现有n（n∈N*且2≤n≤10）个个体，若出于成本考虑，仅采用一种检测方法，试问检测机构应采用哪种检测方法？（ln3≈1.099，ln4≈1.386，ln5≈1.609，ln6≈1.792） 答案：解：（Ⅰ）现有100个个体采取抗体检测法，其中恰有一个检测出为阳性的概率为： P =C1001⋅p⋅(1−p)99=100p(1−p)99 ． （Ⅱ）设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法， 则由条件知： {x+10y≥107100x+700y≤9000y≤x ，x，y∈N， 总检测费用为 z=100x+700y ． 画出可行域如图， 由 {x+10y=107y=x ，解得A（ 10711 ， 10711 ）， 则在可行域内临近A点的整点有（10，10），（17，9），此时，Zmin＝8000， 即安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低． （Ⅲ）设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX，则 EX＝80n ， 采用核酸检测，检测机构成本期望为EY， 设采用核酸检测法检测次数为η，则η的取值只有1和n+1， 且 P(η=1)=(1−p)n ， P(η=n+1)＝1−(1−p)n ， ∴ E(η)=(1−p)n+(n+1)[1−(1−p)n]=n+1−n(1−p)n ， ∴ E(Y)=160[n+1−n(1−p)n] ， 设EX＞EY，则 160[n+1−n(1−p)n]<80n ，即 (1−p)n>1n+12 ， ∵ p=1−e−124 ，∴ e−n24>1n+12 ， ∴ −n24>ln(1n+12) ，即 ln(1n+12) +n24<0 ， 设 f(x)=ln(1x+12)+x24(2≤x≤10) ，则 f′(x)=124−2x(x+2) ， 由 f′(x)<0 ，得 2≤x<6 ， f′(x)>0 ，得 6<x≤10 ， ∴ f(x) 在 [2,6) 上单调递减，在 (6,10] 上单调递增， 又 f(2)=ln(12+12)+224=112>0 f(3)=ln(13+12)+324=5ln6+18≈1.609−1.792+0.12=−0.058<0 ， ln(110+12)+1024=ln35+512≈1.099−1.609+0.417=−0.093<0 ， ∴当n≥3， n∈N* 时，EX＞EY， ∴当n＝2时，采用抗体检测法，当3≤n≤10， n∈N* 时，采用核酸检测法．

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