题目

已知函数 在区间 上有最小值1，最大值9. （1） 求实数a，b的值； （2） 设 ，若不等式 在区间 上恒成立，求实数k的取值范围； （3） 设 ），若函数 有三个零点，求实数 的取值范围. 答案： 解：因为函数 f(x) 对称轴为 x=1 ， a>0 ， 所以 f(x) 在区间 [−2,0] 上为单调递减 所以 {f(−2)=9f(0)=1 ， {4a+4a+b+2=9b+2=1 ， 解得： a=1 ， b=−1 解： g(x)=x2−2x+1x=x+1x−2 令 t=log2x ，∴ t∈[12,2] 不等式 g(log2x)−klog2x≥0 化为 t+1t−2−kt≥0 即 k≤1t2−2t+1 在 [12,2] 上恒成立 因为 1t∈[12,2] ，所以 1t2−2t+1=(1t−1)2≥0 所以 k≤0 解：函数 F(x) 有三个零点 则方程 f(|2x−1|)+λ(|2x−1|−2)=0 有三个不同根 设 m=|2x−1| 其图象如下图 由题意，关于m的方程： m2−2m+1+λ(m−2)=0 即 m2+(λ−2)m+1−2λ=0 有两根，且这两根有三种情况： 一根为0，一根在 (0,1) 内；或一根为1，一根在 (0,1) 内：或一根大于1，一根在 (0,1) 内 若一根为0，一根在 (0,1) 内： 把 m=0 代入 m2+(λ−2)m+1−2λ=0 中，得 λ=12 ， 此时方程为 m2−32m=0 ，得 m=0 ， m=32 ，不合愿意； 若一根为1，一根在 (0,1) 内： 把 m=1 代入 m2+(λ−2)m+1−2λ=0 中，得 λ=0 ， 此时方程为 m2−2m+1=0 ，得 m1=m2=0 ，不合题意； 若一根大于1，一根在 (0,1) 内： 设 h(m)=m2+(λ−2)m+1−2λ ，由题意得 {h(0)>0h(1)<0 {1−2λ>0−λ<0 ，∴ 0<λ<12 综上得： 0<λ<12

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