题目

已知 ，求证： （1） ； （2） 与 至少有一个大于 . 答案： 解：因为 a>b>0 ，所以 1+a+b 和 a+1+b 都是正数，所以要证 11+a+b>1a+1+b ，只需证 a+1+b>1+a+b .只需证 (a+1+b)2>(1+a+b)2 ，只需证 a(1+b)>(1+a)b ，只需证 a(1+b)>(1+a)b ，只需证 a>b .因为 a>b 成立，所以 11+a+b>1a+1+b . 解：证法一：假设 a+1b≤2 且 b+1a≤2 ，则 a+1b+b+1a≤4又因为 a>b>0 ，所以 a+1b+b+1a=(a+1a)+(b+1b)>2a⋅1a+2b⋅1b=4 ，这与 a+1b+b+1a≤4 矛盾.所以 a+1b 与 b+1a 至少有一个大于 2 .证法二：因为 a>b>0 ，所以 1a<1b ，所以 a+1b>a+1a≥2a⋅1a=2 ，所以 a+1b>2而 b+1a 与 2 的大小关系不确定，所以 a+1b 与 b+1a 至少有一个大于 2 .

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