题目

已知不等式 的解集与关于 的不等式 的解集相同. （1） 求实数 ， 的值； （2） 求函数 的最大值及取最大值时的 值. 答案： 解：由 |x−2|>3 ，得 x−2>3 或 x−2<−3 ， 即 x>5 或 x<−1 ； ∴不等式 |x−2|>3 的解集为 {x|x>5 或 x<−1} ； ∴不等式 x2−ax−b>0 的解集为 {x|x>5 或 x<−1} ； 从而 −1 ， 5 为方程 x2−ax−b=0 的两根， ∴{a=−1+5−b=−1×5 ，则 {a=4b=5 ； 解：因为函数 f(x)=ax−3+b44−x 的定义域为 [3,44] ， 又 a=4 ， b=5 ， 由柯西不等式可得： f(x)=4x−3+544−x≤42+52×(x−3)2+(44−x)2=41 ， 当且仅当 5x−3=444−x ，即 x=19 时等号成立， ∴ f(x)max=41 ，此时 x=19 .

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