题目

已知函数 ． （Ⅰ）当m=8时，求f（﹣4）的值；（Ⅱ）当m=8且x∈[﹣8，8]时，求|f（x）|的最大值；（Ⅲ）对任意的实数m∈[0，2]，都存在一个最大的正数K（m），使得当x∈[0，K（m）]时，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此时相应的m的值． 答案：解：（Ⅰ） 当m=8时，f（﹣4）=f（﹣2）=f（0）=77 （Ⅱ）函数 f(x)={x2−mx+m−1，x≥0f(x+2)，x<0 ． 0≤x≤8时，函数f（x）= {x2−8x+7，x≥0f(x+2)，x<0 ．f（x）=x2﹣8x+7，当x=4时，函数取得最小值﹣9，x=0或x=8时函数取得最大值：7，f（x）∈[﹣9，7]7﹣8≤x＜0时，f（x）=f（x+2），如图函数图象，f（x）∈（﹣5，7]7所以x∈[﹣8，8]时，|f（x）|max=97（能清晰的画出图象说明|f（x）|的最大值为9，也给3分）（Ⅲ） ①当m=0时，f（x）=x2﹣1（x≥0），要使得|f（x）|≤2，只需x2﹣1≤2，得 x≤3 ，即 K(m)=3 ，此时m=07②当0＜m≤2时，对称轴 x=m2∈(0，1] ，要使得|f（x）|≤2，首先观察f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）与y=﹣2的位置关系，由x2﹣mx+m﹣1≥﹣2对于0＜m≤2恒成立，7故K（m）的值为x2﹣mx+m﹣1=2的较大根x2，解得 x2=m+m2−4m+122 7又 x2=m−2+m2−4m+122+1 = m2−4m+12−(2−m)2+1 = 82[m2−4m+12+(−m)]+ 1故 K(m)=82[m2−4m+12+(−m)]+1 ，则显然K（m）在m∈（0，2]上为增函数，所以 [K(m)]max=k(2)=1+2 由①②可知，K（m）的最大值为 1+2 ，此时m=2

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