题目

直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．答案：解：解法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴ {x0−3y0+10=0−2x0+2−y0−8=0 ⇒ {x0=−4y0=2 ∴kAP＝ 1−20+4=−14 ，故所求直线l的方程为y＝ −14 x＋1，即x＋4y－4＝0.解法二：设所求直线l方程为y＝kx＋1，由方程组 {y=kx+1x−3y+10=0⇒A(73k−1,10k−13k−1) ，由方程组 {y=kx+12x+y−8=0⇒A(7k+2,8k+2k+2) ，∵A、B的中点为P(0,1)，∴ 12(73k−1+7k+2)=0 ，∴k＝ −14 .故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.解法三：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有 {x1+x2=0y1+y2=2 ⇒ {x2=−x1y2=2−y1 代入l2的方程，得2(－x1)＋2－y1－8＝0，即2x1＋y1＋6＝0.由方程组 {x1−3y1+10=02x1+y1+6=0 解得 {x1=−4y1=2 由两点式可得所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.解法四：同解法一，设A(x0，y0)， {x0+3y0+10=02x0+y0+6=0 两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1)考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A．根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.

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