题目

已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+1|，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤x2﹣x的解集；（Ⅱ）若正实数m，n满足2m+n=1，函数 恒成立，求实数a的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|， f（x）≤x2﹣x即|x﹣1|﹣|x+1|≤x2﹣x，x≥1时，x﹣1﹣x﹣1≤x2﹣x，即x2﹣x+2≥0，解得：x≥2或x≤﹣1，（舍），﹣1＜x＜1时，1﹣x﹣x﹣1≤x2﹣x，即x2+x≥0，解得：x≥0或x≤﹣1（舍），x≤﹣1时，1﹣x+x+1≤x2﹣x，即x2﹣x﹣2≥0，解得：x≥2（舍）或x≤﹣1，综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）；（Ⅱ）若正实数m，n满足2m+n=1，则 1m + 2n =（ 1m + 2n ）（2m+n）=4+ nm + 4mn ≥4+2 nm⋅4mn =8，当且仅当n=2m即n= 12 ，m= 14 时“=”成立，函数 f(x)≤1m+2n 恒成立，即|x﹣a|﹣|x+1|≤|x﹣a﹣x﹣1|=|a+1|≤8，解得：﹣9≤a≤7

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