题目

已知集合 中的元素都是正整数，且 ，集合 具有性质 ：对任意的 ，且 ，都有 . （1） 判断集合 是否具有性质 ； （2） 求证： ； （3） 求集合 中元素个数的最大值，并说明理由. 答案： 解： |1−2|≥1×225 ， |1−3|≥1×325 ， |1−4|≥1×425 ， |2−3|≥2×325 ， |2−4|≥2×425 ， |3−4|≥3×425 ， 因为由上述式子可知集合 {1,2,3,4} 满足 |x−y|≥xy25 ， 所以集合 {1,2,3,4} 具有性质 M 证明：由题意可得 |ai−ai+1|≥aiai+125(i=1,2,3,⋯,n−1) 且 a1<a2<⋅⋅⋅<an ， 则 ai+1−ai≥aiai+125 ，即 1ai−1ai+1≥125 ， 故 1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1an−1−1an≥n−125 ，即 1a1−1an≥n−125 解：因为集合 A={a1,a2,⋯,an} 中的元素都是正整数，所以 a1≥1 ， 因为 1a1−1an≥n−125 ，所以 1>n−125 ， n<26 ， 同理可得 1ai−1an≥n−i25 ，则 1ai>n−i25 ， 因为 ai≥i ，所以 1i>n−i25 ， 25>(n−i)i ，当 i=1,2,3,⋯,n−1 都成立， 当 n≥10 时，令 i=5 ，则 (n−5)×5≥25 ，不成立； 当 n≤9 时， (n−i)i≤(n−i+i2)2=n24<25 ，当且仅当 n−i=i 时等号成立， 此时 25>(n−i)i 恒成立， 综上所述， n≤9 ，集合 A 中元素个数的最大值为9

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