题目

如图，已知正方形 的边长为2，过中心 的直线 与两边 分别交于交于点 . （1） 求 的值； （2） 若 是 的中点，求 的取值范围； （3） 若 是平面上一点，且满足 ，求 的最小值. 答案： 解：由题意可得： BD→⋅DC→=(BC→+CD→)⋅DC→=−CD→2=−4 解： ∵ 在正方形 ABCD 中，过中心 O 的直线 l 与两边 AB、CD 分别交于交于点 M、N . ∴ 点 O 为线段 MN 的中点 ∴ QM→⋅QN→=(QO→+OM→)⋅(QO→+ON→)=QO→2−OM→2 . 又 ∵ 正方形 ABCD 的边长为2， Q 是 BC 的中点 ∴|QO→|=1 ， 1≤|OM→|≤2 ∴−1≤QM→⋅QN→≤0 . 即 QM→⋅QN→ 的取值范围为 [−1,0] 解：由题可得 PM→⋅PN→=(PO→+OM→)⋅(PO→+ON→)=PO→2−OM→2 令 OT→=2OP→ ，由 OT→=2OP→=λOB→+(1−λ)OC→ ，可知点 T 在 BC 上， ∴|OT→|≥1 .从而 |OP→|≥12. ∵1≤|OM→|≤2 ∴PM→⋅PN→=PO→2−OM→2≥14−2=−74 . ∴ PM→⋅PN→ 的最小值为 −74

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