题目

如图，在长方 中， ， ，E为 的中点，以 为折痕，把 折起到 的位置，且平面 平面 . （1） 求证: ； （2） 在棱 上是否存在一点P，使得 平面 ，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由. 答案： 证明：根据题意可知，在长方形 ABCD 中， ΔDAE 和 ΔCBE 为等腰直角三角形， ∴ ∠DEA=∠CEB=45° ， ∴ ∠AEB=90° ，即 BE⊥AE ， ∵平面 D′AE⊥ 平面 ABCE ，且平面 D′AE∩ 平面 ABCE=AE ， ∴ BE⊥ 平面 D′AE ， ∵ AD′⊂ 平面 D′AE ， ∴ AD′⊥BE 解：如图所示： 连接 AC 交 BE 于G， 假设在 D′E 上存在点P，使得 D′B∥ 平面 PAC ， 连接 PG ，∵ D′B⊂ 平面 D′BE ，平面 D′BE∩ 平面 PAC=PG ， ∴ D′B∥PG ， ∴在 ΔEBD′ 中， EPPD′=EGGB ， ∵在梯形 ABCE 中， EGGB=ECAB=12 ， ∴ EPPD′=EGGB=12 ，即 EP=13ED′ ， ∴棱 D′E 上存在一点P，且 EP=13ED′ ，使得 D′B∥ 平面 PAC

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