题目

设函数 是定义域为 的奇函数 （1） 求 （2） 若 ，求使不等式 对一切 恒成立的实数 的取值范围 （3） 若函数 的图象过点 ，是否存在正数 ，使函数 在 上的最大值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：因为 f(x) 是定义域为 R 的奇函数， ∴f(0)=0 ， ∴t=2 ， 且 f(−x)=−f(x) 是奇函数（或者写经验证 f(x) 为奇函数）. ∴f(x)=bx−b−x . 解：若 f(2)>0 得 b2−1b2>0 ∵b>0 ， ∴b>1 ， 由 f(kx−x2)+f(x−1)<0 得 f(kx−x2)<−f(x−1) ， 因为 f(x) 为奇函数， ∴f(kx−x2)<f(1−x) 因为 b>1 ， ∴f(x)=bx−b−x 为上的增函数， ∴kx−x2<1−x 对一切 x∈R 恒成立，即 x2−(k+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立 故 Δ=(k+1)2−4<0 解得 −3<k<1 . 解：函数 f(x) 的图像过点 (1，32) ， ∴b=2 ， 假设存在正数 m ，且 m≠1 符合题意， 由 b=2 得 g(x)=logm[22x+2−2x−m(2x−2−x)] 因为 x∈[1，log23] ，令 t=2x−2−x ， ∴t∈[32，83] ，记 h(t)=t2−mt+2 ， ∵ 函数 g(x) 在 [1，log23] 上的最大值为 0 ， ∴(i) 若 0<m<1 时，则函数 h(t)=t2−mt+2 有最小值1. 由于对称轴 t=m2<12 ，在区间 [32，83] 上最小值为 ∴hmin(t)=h(32)=174−32m=1⇒m=136>1 ，不合题意. (ii) 若 m>1 时，则函数 h(t)=t2−mt+2>0 在 [32，83] 上恒成立，且最大值为1，最小值大于0. ①{12<m2≤2512h(t)max=h(83)=1⇒{1<m≤256m=7324⇒m=7324 ， 而此时 m2=7348∈[32，83] ， 又 h(t)min=h(7348)<0 ， 故 g(x) 在 [1，log23] 无意义， 所以 m=7324 应舍去. ②{m2>2512h(t)max=h(32)=1⇒{m>256m=136⇒m 无解. 综上所述：故不存在正数 m ，使函数 g(x) 在 [1，log23] 上的最大值为0.

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