题目

如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴交于点 和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 . （1） 填空： ； （2） 设抛物线的顶点是D，连接 ， ，将 绕点B顺时针旋转，当射线 经过点D时，射线 与抛物线交于点P，求点P的坐标； （3） 设E是x轴上位于点B右侧的一点，F是第一象限内一点， 轴且 ，点H是线段 上一点，以 、 为邻边作矩形 ， ，垂足为T，连接 ， .若 与 相似，求 的长. 答案： 【1】2 解：如图1， ∵ y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4 ， ∴ D(1，4) ， C(0，3) ， 过点D作 DE⊥y 轴于E， 则 DE=CE=1 ， DC=2 ， ∴ ∠DCE=∠EDC=45° . 解方程 −x2+2x+3=0 ， 得 x1=−1 ， x2=3 . ∴ OB=OC=3 ， BC=32 . ∴ ∠OCB=∠OBC=45° . ∴ ∠DCB=90° . ∴ tan∠DBC=13 . 当射线 BC 经过点D时， ∠ABP=∠CBD . ∴ tan∠ABP=13 . 过点P作 PH⊥x 轴于H， 设 P(x，−x2+2x+3) ， 则 BH=3−x ， PH=−x2+2x+3 . ∴ −x2+2x+33−x=13 . 解得 x1=3 （舍去）， x2=−23 . ∴ P(−23，119) . 解：分两种情形： ①当点H在原点O的右侧时， 如图2，由题意可知，点C、G、F共线， 过点T作 TM⊥CF 于M. 则 tan∠CTM=tan∠TFM =tan∠ACO=13 ， ∴ FM=3TM . （i）若 △TGF∼△HGT ， 则 ∠TFG=∠THG ， ∠FTG=∠HTG . ∵ ∠TFG+∠THG+∠FTH =∠FGH=90° ， ∴ ∠TFG+∠FTG=∠TGM=45° . ∴ TM=MG . ∴ FG=2TM=2MG . ∵ TGHG=GFGT ， ∴ GT2=HG⋅GF . 设 TM=MG=m ， 则 CM=13m ， TG=2m ， GF=2m . ∴ (2m)2=3×2m . ∴ m=3 . ∴ OE=CF=103m=10 . （ii）若 △TGF∼△TGH ， 则 △TGF≅△TGH . ∴ GH=GF=3 . ∴ TM=MG=32 . ∴ CM=12 . ∴ OE=CF=12+32+3=5 . ②当点H在原点O的左侧时，如图3， 若 △TGF∼△GTH ， 则 △TGF≅△GTH . ∴ TF=GH=3 . ∴ CT=1 . ∴ OE=CF= CT2+TF2=12+32=10 . 由上可知， OE 的长是10或5或 10 .

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