题目

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积． 答案：解：（Ⅰ） 把（a+c）2=b2+3ac整理得，a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理有cosB= a2+c2−b22ac = ac2ac = 12 ，∵B为三角形内角，∴B= π3 ；（Ⅱ）在△ABC中，A+B+C=π，即B=π﹣（A+C），∴sinB=sin（A+C），由已知sinB+sin（C﹣A）=2sin2A可得：sin（A+C）+sin（C﹣A）=4sinAcosA，∴sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA﹣cosCsinA=4sinAcosA，整理得：cosAsinC=2sinAcosA，若cosA=0，则A= π2 ，于是由b=2，可得c= 2tanB = 233 ，此时△ABC的面积为S= 12 bc= 233 ；若cosA≠0，则sinC=2sinA，由正弦定理可知，c=2a，代入a2+c2﹣b2=ac整理可得：3a2=4，解得：a= 233 ，进而c= 433 ，此时△ABC的面积S= 12 acsinB= 233 ，∴综上所述，△ABC的面积为 233 ．

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