题目

如图，点P是等边三角形ABC内部一个动点，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圆．AP，BP的延长线分别交BC，AC于D，E． （1） 求证：CA，CB是⊙O的切线； （2） 已知AB=6，G在BC上，BG=2，当PG取得最小值时，求PG的长及∠BGP的度数． 答案： 证明：连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM， ∴四边形APBM是圆内接四边形，∴∠M=180°﹣∠APB=60°，∵∠AOB=2∠M=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠BAC=60°，∴∠OBC=90°，∴CB是⊙O的切线；同理CA是⊙O的切线 作ON⊥AB于N，连接OG， 当O，P，G在一条直线上时，PG最小，∵AB=6，∴BN=3，∴OB=2 3 ，∵∠OBG=90°，BG=2，tan∠OGB= 3 ，∴∠OGB=60°，OG=4，∴PG=4﹣2 3 ，此时，∠BGP=60°．

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