题目

已知函数 ， （ ， ），. （1） 求证：函数是奇函数； （2） 当时，求不等式的解集. 答案： 证明：由{1+x>01−x>0 得h(x)的定义域为(−1，1)．∵h(x)=f(x)−g(x)=loga(1+x)−loga(1−x)∴h(−x)=f(−x)−g(−x)=loga(1−x)−loga(1+x)=−h(x)所以h(x)是奇函数. 解：任取−1<x1<x2<1，∵h(x1)−h(x2)=loga1+x11−x1−loga1+x21−x2=loga(1+x11+x2×1−x21−x1)，由题设可得a>1 ，0<1+x11+x2<1，0<1−x21−x1<1，故loga(1+x11+x2×1−x21−x1)<0，∴h(x1)−h(x2)<0，∴函数h(x)在(−1，1)上是增函数；∵h(x2+x−1)+h(12−12x)>0，f(x)为奇函数，∴h(x2+x−1)>−h(12−12x)=h(12x−12)，又函数h(x)在(−1，1)上是增函数，∴{−1<x2+x−1<1−1<12−12x<1x2+x−1>12x−12，解得：12<x<1，∴不等式的解集为(12，1).

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