题目

已知函数 （1） 讨论 的单调性； （2） 若函数 在区间 内恰有两个零点，求 的取值范围． 答案： 解： f′(x)=x−ax=x2−ax(x>0) ①当 a≤0 时， f'（x）>0 ，故 f（x） 在 (0,+∞) 单调递增； ②当 a>0 时，由 f′（x）=0 得 x=a （舍去负值） 当 0<x<a 时， f'（x）<0 ，故 f（x） 在 (0,a) 上单调递减； 当 x>a 时， f'（x）>0 ，故 f（x） 在 (a,+∞) 单调递增. 综上：当 a≤0 时， f（x） 在 (0,+∞) 单调递增； 当 a>0 时， f（x） 在 (0,a) 上单调递减，在 (a,+∞) 单调递增. 解：当 a≤0 时，由（1）知 f（x） 在 (0,+∞) 上单调递增，故 f（x） 在区间 (1,e2] 内至多有一个零点， 当 a>0 时，由（1）知 f（x） 在 (0,+∞) 上的最小值为 f(a)=a(1−lna)2 若 f（x） 在区间 (1,e2] 内恰有两个零点，则需满足 {1<a<e2f(a)<0f(1)>0f(e2)⩾0 即 {a(1−lna)2<01<a<e412>0e42−2a⩾0 整理的 {1<a<e4a>ea⩽e44 所以 e<a⩽e44 故 a 的取值范围为 (e,e44]

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