题目

如图如图1，抛物线C1：与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，且顶点为C，直线y=kx+2经过A，C两点．（1）求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；（2）如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2 ，其顶点为D，抛物线C2与直线y=kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点(M点在N点右边)，若，求点D的坐标；（3）如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3 ，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T在x轴上方的抛物线C3上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为，当m=时，有最小值．答案：解：如图1， ∵y=kx+2经过A（-1，0）， ∴-k＋2=0 ∴k=2 ∴y=2x+2 ∵y=ax2+bx+c经过 A（-1，0），B（3，0） ∴y=ax2+bx+c的对称轴为x=1 ∵y=2x+2经过顶点C，∴C（1，4）设抛物线C1的表达式为 y=a(x−1)2+4 ∵抛物线C1经过A（-1，0） ∴4a+4=0，a=-1 ∴ 抛物线C1的表达式为 y=−(x−1)2+4 ∴y=−x2+2x+3 解：如图2，过D作DQ⊥x轴于点Q，过E作EF⊥DQ于点F. ∵将抛物线C1沿射线AC方向平移，得到抛物线为C2 ，设顶点为D（t，2t+2） ∴抛物线C2的表达式为 y=−(x−t)2+2t+2 ∴{y=−(x−t)2+2t+2y=2x+2 ∴{x1=ty1=2t+2 ∴{x2=t−2y2=2t−2 ∴D（t，2t+2），E（t-2，2t-2） ∴EF=2 ∵S△MDE=23S△MAE ∴DEEA=23,∴DEDA=25 ∵△DEF∽△DAQ ∴DEEA=EFAQ,∴25=2AQ ∴AQ=5，OQ=4 ∴D（4，10）【1】4【2】25+1【3】5−12

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