题目

汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足 ． 假定这一带水域两岸河堤是平行的，即 ， 且 ． （1） 求、的值； （2） 如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点 ， 过作交于点 ， 若 ， 求的度数； （3） 若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行? 答案： 解：∵|a−3b|+(a+b−4)2=0． 又∵|a−3b|≥0，(a+b−4)2≥0． ∴a=3，b=1； 解：设A灯转动时间为t秒， 如图，作CE//PQ，而PQ//MN，  ∴PQ//CE//MN，  ∴∠ACE=∠CAN=180°−3t°，∠BCE=∠CBD=t°， ∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t°+180°−(3t)°=180°−(2t)°， ∵∠ACD=90°， ∴∠BCD=90°−∠BCA=90°−[180°−(2t)°]=(2t)°−90°=20°， ∴t=55 ∵∠CAN=180°−(3t)°， ∴∠BAC=45°−[180°−(3t)°]=(3t)°−135°=165°−135°=30° 解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． 依题意得0<t<150 ①当0<t<60时， 两河岸平行，所以∠2=∠3=(3t)° 两光线平行，所以∠2=∠1=30+t° 所以，∠1=∠3 即：3t=30+t， 解得t=15； ②当60<t<120时， 两光束平行，所以∠2=∠3=(30+t)° 两河岸平行，所以∠1+∠2=180° ∠1=3t−180° 所以，3t−180+30+t=180， 解得t=82.5； ③当120<t<150时，图大概如①所示 3t−360=t+30， 解得t=195>150（不合题意） 综上所述，当t=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．

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