题目

已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn ， 求Tn ． 答案：解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得 an=2n(n∈N*) ． 由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，当n≥2时，b1+ 12 b2+ 13 b3+…+ 1n−1bn−1 =bn﹣1，和原递推式作差得， 1nbn=bn+1−bn ，整理得： bn+1n+1=bnn ，∴ bn=n(n∈N*) ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知， anbn=n⋅2n ，因此 Tn=2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n 2Tn=22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1 ，两式作差得： −Tn=2+22+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1 ， Tn=(n−1)⋅2n+1+2 （n∈N*）．

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