题目

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠A＝2∠CBF． （1） 求证：BF与⊙O相切． （2） 若BC＝CF＝4，求BF的长度． 答案： 证明：连接AE，如图， ∵AB为直径， ∴∠AEB=90°， ∴AE⊥BC， ∵AB=AC， ∴BE=CE，AE平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵∠BAC=2∠4， ∴∠1=∠4， ∵∠1+∠3=90°， ∴∠3+∠4=90°， ∴AB⊥BF， ∴BF与⊙O相切； 解：∵BC=CF=4， ∴∠F=∠4， 而∠BAC=2∠4， ∴∠BAC=2∠F， ∴∠F=30°，∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=4， ∴BF= AF2−AB2 = 82−42 =4 3 ．

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