题目

已知直线 ，M，N分别为直线 ， 上的两点且 ，P为直线 上的一个动点.类似于平面镜成像，点N关于镜面 所成的镜像为点Q，此时 . （1） 当点P在N右侧时： ①若镜像Q点刚好落在直线 上（如图1），判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由； ②若镜像Q点落在直线 与 之间（如图2），直接写出 与 之间的数量关系； （2） 若镜像 ，求 的度数. 答案： ① MN//PQ ， 证明：∵ AB//CD ， ∴ ∠NPM=∠QMP ， ∵ ∠NMP=∠QMP,∠NPM=∠QPM ， ∴ ∠NMP=∠QPM ， ∴ MN//PQ ； ②过点Q作QF∥CD， ∵ AB//CD ， ∴ AB//CD//QF ， ∴ ∠BMQ=∠1 ， ∠2=∠QPD ， ∴ ∠BMQ+∠DPQ=∠MQP ， ∵ ∠MNP=∠MQP=70° ， ∴ ∠BMQ+∠DPQ=70° ； 如图，当点P在N右侧时，过点Q作QF∥CD， 同（1）得， AB//CD//QF ， ∴ ∠FQP+∠NPQ=180° ， ∠FQM=∠BMQ ， ∵ PQ⊥CD ， ∴ ∠NPQ=90° ， ∴ ∠FQP=90° ， ∵ ∠MND=∠PQM=70° ， ∴ ∠FQM=20° ， ∴ ∠BMQ=20° ， 如图，当点P在N左侧时，过点Q作QF∥CD，同（1）得， AB//CD//QF ， 同理可得， ∠FQP=90° ， ∵ ∠MND=70° ， ∴ ∠MNP=∠PQM=110° ， ∴ ∠FQM=20° ， ∵ AB//QF ， ∴ ∠FQM+∠BMQ=180° ， ∴ ∠BMQ=160° ； 综上， ∠BMQ 的度数为 160° 或 20° .

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