题目

如图，在圆锥 中， 为 的直径，点 在 上， ， ． （1） 证明：平面 平面 ； （2） 若直线 与底面所成角的大小为 ， 是 上一点，且 ，求二面角 的余弦值． 答案： 在圆锥 PO 中， PO⊥ 平面 ABC ，则 PO⊥AB ， 又 AC 为 ⊙O 的直径且点 B 在 AC⌢ 上，则 AB⊥BC ，因 OD//BC ，则有 AB⊥OD 而 PO∩OD=O ， 所以 AB⊥ 平面 POD ，又 AB⊂ 平面 PAB ，从而有平面 PAB⊥ 平面 POD 令 AC=4 ，因为直线 PA 与底面所成角的大小为 π4 ，即 ∠PAO=π4 ，则 PO=AO=2 ， Rt△ABC 中， ∠CAB=π6 ，则 BC=2 ， AB=23 ， 在平面PDO内，过点D作Dz//PO，则Dz⊥平面ABC，以射线DO，DA，Dz分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图： 则 D(0,0,0) ， A(0,3,0) ， C(2,−3,0) ， P(1,0,2) ， O(1,0,0) ， 又 E 是 PD 上一点，即 DE→=λDP→=(λ,0,2λ) ，点 E(λ,0,2λ) ， OE→=(λ−1,0,2λ) ， DP→=(1,0,2) ， 而 OE⊥PD ，即 OE→⋅DP→=(λ−1)⋅1+2λ⋅2=5λ−1=0 ， λ=15 ，则 E(15,0,25) ， AC→=(2,−23,0) ， EA→=(−15,3,−25) ， 设平面 EAC 的法向量 m→=(x,y,z) ，则 {m⇀⋅AC⇀=0m⇀⋅EA⇀=0 ，即 {2x−23y=0−15x+3y−25z=0 ， 令y=1，则 x=3 ， z=23 ，即 m→=(3,1,23) ，又平面 ABC 的法向量 n→=(0,0,1) ， ∴ cos〈m→,n→〉=m→⋅n→|m→||n→|=23(3)2+12+(23)2=32 ，显然二面角 E−AC−B 的平面角是锐角， 所以二面角 E−AC−B 的余弦值为 32 .

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