题目

已知∠MON=90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连结OC． （1） 求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； （2） 若OP=4 ，求OA的长． （3） 求OC的最大值（提示：取AB的中点Q，连接CQ、OQ，运用两点之间，线段最短） 答案： 解：如图，作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分别为E、F，则∠PEA=∠PFB=90°=∠EOF，∴∠EPF=90°，∵ABCD是正方形，∴PA=PB，且∠APB=90°，∴∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE，即∠APE=∠BPF，在△AEP和△BFP中，{∠PEA=∠PFB∠APE=∠BPFPA=PB ，∴△PAE≌△PBF（AAS），∴PE=PF，即点P在∠AOB的平分线上 解：∵四边形OEPF是正方形，OP=4 2 ，∴OE=PE=4，又∵Rt△APB中，AB=6，∴PA=3 2 ，∴Rt△AEP中，AE= AP2−PE2 = 2 ，∴OA=OE+AE=4+ 2 或OA=OE﹣AE=4﹣ 2 解：如图，取AB的中点Q，连接OQ，CQ，OC，∵AB长度不变，BC长度不变，∴Rt△AOB中，OQ= 12 AB=3，Rt△BCQ中，CQ= 62+32 =3 5 ，∵OQ+CQ≥OC，∴当O，C，Q三点共线时，OC有最大值，OC最大值=OQ+QC=3+3 5 ．

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