题目

如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离 千米处是学校B．（参考数据： ， ）． （1） 求学校A ， B两点之间的距离 （2） 要在公路MN旁修建一个体育馆C ， 使得A ， B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离． 答案： 解：过点A作CD//MN，BE⊥MN，如图： 在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km， ∵sin36.5°＝ CA5 ＝0.6， ∴CA＝3，MC＝4km， 在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB＝ 62 km， ∵sin45°＝ BE62 ＝ 22 ， ∴BE＝6，ME＝6km， ∴AD＝CD−CA＝ME−CA＝3km，BD＝BE−DE＝BE−CM＝2km， 在Rt△ABD中，AB＝ 13 km． 解：作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为站点， 此时PA＋PB＝PA＋PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长 在Rt△ADG中，AD=3，DG=DE+EG=DE+BE=4+6=10，∠ADG=90°， ∴AG＝ AD2+DG2=32+102 ＝ 109 km． 答：最短距离为 109 km．

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