题目

已知函数 满足 . （1） 试问是否存在 ，使得函数 为奇函数?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. （2） 若 ， ， ，求 的取值范围. 答案： 解：由 3f(x)+f(−x)=4x2+8x 得： 3f(−x)+f(x)=4x2−8x ， 两个等式联立，消去 f(−x) 得： f(x)=x2+4x ， ∴g(x)=f(x)x−a=x+4−a(x≠0) ， g(x) 为奇函数，则 4−a=0 ，解得： a=4∈N ， ∴a=4 时，函数 g(x)=f(x)x−a 为奇函数. 解：设函数 h(x)=x3−3x2+6(x>−1) ，则 h′(x)=3x2−6x . 当 −1<x<0 或 x>2 时， h′(x)>0 ；当 0<x<2 时， h′(x)<0 ， ∴h(x) 在 (−1，0) ， (2，+∞) 上单调递增，在 (0，2) 上单调递减， 又 h(−1)=h(2)=2 ，所以 ∴h(x)min=h(2)=2 . ∵ ∀x1∈[2，4] ， ∀x2∈(−1，+∞) ， mf(x1)+(m+1)x1<log2(x23−3x22+6) ， ∴mf(x1)+(m+1)x1<log22=1 对 x1∈[2，4] 恒成立， ∴m<1−x1x12+5x1 对 x1∈[2，4] 恒成立. 设函数 p(x)=1−xx2+5x(2≤x≤4) ，令 x−1=t(1≤t≤3) ， 则 p(x)=q(t)=−t(t+1)2+5(t+1)=−1t+6t+7≥−12t⋅6t+7=26−725 ， 当且仅当 t=6t ，即 t=6∈[1，3] 时，等号成立，此时 q(t) 取得最小值 26−725 ， ∴m<26−725 ， ∴ m 的取值范围为 (−∞，26−725) .

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