题目

如图 （1） 问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为； （2） 方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论； （3） 联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论. 答案： 【1】AD＝AB+DC. 证明：方法迁移：结论：AB＝AF+CF. 证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥DC， ∴∠BAE＝∠G.且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC ∴△AEB≌△GEC（AAS） ∴AB＝GC ∵AE是∠BAF的平分线 ∴∠BAG＝∠FAG， ∵∠BAG∠G， ∴∠FAG＝∠G， ∴FA＝FG， ∵CG＝CF+FG， ∴AB＝AF+CF 证明：联想拓展：结论；AB＝DF+CF. 证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥CF， ∴∠BAE＝∠G， 在△AEB和△GEC中， {∠BAE=∠G∠AEB=∠GECBE=CE ， ∴△AEB≌△GEC， ∴AB＝GC， ∵∠EDF＝∠BAE， ∴∠FDG＝∠G， ∴FD＝FG， ∴AB＝DF+CF

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