题目

已知数列满足 ， . （1） 若且.（ⅰ）当成等差数列时，求k的值；（ⅱ）当且 ， 时，求及的通项公式. （2） 若 ， ， ， .设是的前n项之和，求的最大值. 答案： 解：（ⅰ）因为{lgan}成等差数列，所以2lgan+1=lgan+lgan+2，所以an+12=an⋅an+2，又anan+2=kan+12>0所以k=1；（ⅱ）因为an⋅an+2=2an+12(an>0)，所以a1a3=2a22，a2a4=2a32，所以8a23=a12a4=162，所以a2=2，因为an+2an+1=2⋅an+1an，又由a2a1=2，所以{an+1an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1an=2⋅2n−1，所以an=a1×a2a1×a3a2×⋅⋅⋅×anan−1=(2)n−1⋅20+1+2+⋅⋅⋅+(n−2)=(2)(n−1)2，∴所以an=(2)(n−1)2； 解：由anan+2=−12an+1an+3可得an+1an+3=−12an+2an+4，所以anan+2=−12×(−12)an+2an+4=14an+2an+4，因为an≠0，所以an=14an+4，即an+4=4an，因为a1a3=−12a2a4，a1=−1，a2<0，所以2a1a3+a2a4=0即a2a4=2a3，S2020=(a1+a5+a9+⋯+a2017)+(a2+a6+a10+⋯+a2018)+(a3+a7+a11+⋯+a2019)+(a4+a8+a12+⋯+a2020)=a1(1+4+42+⋯+4504)+a2(1+4+42+⋯+4504)+a3(1+4+42+⋯+4504)+a4(1+4+42+⋯+4504)=(a1+a2+a3+a4)(1+4+42+⋯+4504)，因为a2a4=2a3，a3∈[4，8]，所以a2a4>0，因为a2<0，所以a4<0，所以−a2+(−a4)≥2a2a4=22a3，可得a2+a4≤−22a3，所以a1+a2+a3+a4≤−1+a3−22a3，令y=−1+a3−22a3，设t=a3∈[2，22]，y=t2−22t−1，对称轴为t=2，是开口向上的抛物线，在t∈[2，22]单调递增，所以t=22时取得最大值，故a1+a2+a3+a4最大值为(22)2−22×22−1=−1，所以S2020=(a1+a2+a3+a4)(1+4+42+⋯+4504)最大值为−1×1−45051−4=1−45053.

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