题目

在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为 （ 为参数），曲线C1在变换T： 的作用下变成曲线C2 ． （1） 求曲线C2的普通方程； （2） 若m>1，求曲线C2与曲线C3：y=m|x|-m的公共点的个数． 答案： 解：因为曲线C1的参数方程为 {x=cosα,y=sinα, 所以曲线C1的普通方程为 x2+y2=1 ， 将变换T： {x'=2x,y'=y, 即 {x=12x',y=y', 代入 x2+y2=1 ，得 x'24+y'2=1 ， 所以曲线C2的普通方程为 x24+y2=1 ． 解：因为m>1，所以 C3 上的点 A(0,−m) 在在椭圆E： x24+y2=1 外， 当x>0时，曲线 C3 的方程化为 y=mx−m ， 代入 x24+y2=1 ，得 (4m2+1)x2−8m2x+4(m2−1)=0 ，（*） 因为 Δ=64m4−4(4m2+1)⋅4(m2−1) =16(3m2+1)>0 ， 所以方程（*）有两个不相等的实根x1，x2， 又 x1+x2=8m24m2+1>0 ， x1x2=4(m2−1)4m2+1>0 ，所以x1>0，x2>0， 所以当x>0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点， 又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称， 所以当x<0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点， 综上，曲线C2与曲线C3：y=m|x|-m的公共点的个数为4．

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