题目

已知函数 ． （1） 用定义证明函数 的奇偶性，并指出该函数 的单调性； （2） 若存在 使得 对任意 恒成立，求实数m的取值范围． 答案： 定义域为 {x|−1<x<1} ， ∵f(−x)+f(x)=log21−x1+x+log21+x1−x =log21=0 ， ∴f(x) 是奇函数， f(x)=log2(21−x−1) 在 (−1，1) 上是单调递增 ； 由（1）得 f(x) 在 [−13，13] 单调递增，所以 f(x)min=f(−13)=−1 ， 即 −1⩽m2−2am−1⇒m2−2am⩾0 对任意 a∈[−1，1] 恒成立， 所以 {m2−2m⩾0m2+2m⩾0 ，得 m=0 或 m⩾2 或 m⩽−2 ． 故实数m的取值范围为 (−∞，−2]∪{0}∪[2，+∞) ．

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