题目

摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. （1） 经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)； （2） 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？ （3） 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值. 答案： 解：由题意可设 H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,B≥0) ,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米, {A+B=90−A+B=10 ,得 A=40,B=50 . 又函数周期为30, ω=2π30=π15 , H(t)=40sin(π15t+φ)+50 ( 0≤t≤30 ), 又 t=0 时, H(t)=10 ,所以 10=40sin(π15×0+φ)+50 ,即 sinφ=−1 , φ 可取 −π2 , 所以 H(t)=40sin(π15t−π2)+50=−40cosπ15t+50(0≤t≤30) 解： H(t)=−40cosπ15t+50=30 , cosπ15t=12 解得 t=5 , 所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米 解：由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为 3036 ,游客甲,乙中间相隔5个座舱, 则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了 t ( 5≤t≤30 )分钟,则游客乙在摩天轮上坐了 t−5 分钟,所以高度差为: h=−40cosπ15t+50−[−40cosπ15(t−5)+50] =−40[cosπ15t−cosπ15(t−5)]=−40[12cosπ15t−32cosπ15t] =−40cos(π15t+π3) 当 π15t+π3=π 即 t=10 时,h取得最大值 40 .

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