题目

如图①，在正方形ABCD中，E是线段AB上一动点，点F在AD的延长线上运动，且DF=BE． （1） 求证：CE=CF． （2） 当点E在AB上运动时，在AD上取一点G，使∠GCE=45°，试判断BE、EG、GD三条线段的数量关系，并加以证明． （3） 若连接图①中的BD，分别交CE、CG于点M、N，得图②，试根据（2）中的结论说明以线段BM、MN、DN为三边构成的是一个什么形状的三角形？ 答案： 解：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF 解：EG=BE+GD理由：由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF∴GE=GF=DF+GD=BE+GD 解：如图，在GE上取一点H，使GH=GD，∵△GCE≌△GCF，∴∠DGN=∠HGN，∠F=∠GEC，∵GN=GN，∴△DGN≌△HGN，∴DN=HN，∴∠GDN=∠GHN=45°，∵GE=GF，GD=GH，BE=DF，∴DF=BE=EH，∵∠F=∠GEC=∠BEC，∠EM=EM，∴△BEM≌△HEM，∴BM=HM，∠EBM=∠EHM=45°，∴∠NHM=90°∴线段BM、MN、DN为三边构成的是一个直角三角形

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