题目

已知定义域为R的函数 是奇函数，其中 为实数. （1） 求实数 的值； （2） 用定义证明 在R上是减函数； （3） 若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：∵ f(x) 是R上的奇函数，所以 a≥0 .故 f(0)=0 ，可得 b=1 . 又 f(−1)=−f(1) ，解得 a=1 . 经检验，当 a=1 且 b=1 时， f(x)=1−2x2x+1 ，满足 f(x) 是 R 上的奇函数. 解：由（1）得 f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1 .任取实数 x1，x2 ，且 x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1) . ∵ x1<x2 ，∴ 2x1<2x2 ，且 (2x1+1)(2x2+1)>0 ∴ f(x1)−f(x2)>0 ，即 f(x1)>f(x2) ， ∴函数 f(x) 在R上是减函数. 解：由（1）和（2）知，不等式 f(t2−2t)+f(−2t2+k)<0 恒成立， 即 f(t2−2t)<−f(−2t2+k)=f(2t2−k) 恒成立， 故 t2−2t>2t2−k 对任意的 t∈[−2，2] 恒成立， 即 k>t2+2t 对任意的 t∈[−2，2] 恒成立. 令 h(t)=t2+2t=(t+1)2−1 ， t∈[−2，2] 易知当 t=2 时， h(t) 取得最大值8，∴ k>8 故实数 k 的取值范围是 (8，+∞).

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